К анализу особых режимов работы системы управления многомодульного импульсного источника тока

12.05.2017

К анализу особых режимов работы системы управления многомодульного импульсного источника тока

Разработан, основанный на методе точечных отображений, подход к анализу устойчивости САР тока с двухмодульным УПУ на
базе индуктивного сглаживающего фильтра и транзисторного ШИП с многофазным принципом синхронизации ее модулей.

Разработан, основанный на методе точечных отображений,подход к анализу устойчивости САР тока с двухмодульным УПУ на
базе индуктивного сглаживающего фильтра и транзисторного ШИП с многофазным принципом синхронизации ее модулей.

Актуальность исследования

Системы автоматического регулирования (САР), построенные на основе транзисторных широтно-импульсных преобразователей (ШИП) постоянного напряжения, находят широкое применение в современной преобразовательной технике. Одной из перспективных областей применения САР с ШИП являются мощные источники тока для установок нестационарного электролиза (УНЭ) [1].

Непрерывное повышение требований [2] к статическим и динамическим характеристикам таких источников ставит перед теорией САР новые, все усложняющиеся задачи. К ним в первую очередь относятся задачи синтеза и анализа САР.

Основной задачей синтеза САР тока для УНЭ является обеспечение в нагрузке (гальванической ванне) импульсов тока требуемой формы и поддержание ее в широких диапазонах возможных изменений параметров САР, в частности, самой нагрузки САР.

Перспективны в этом отношении САР с N-модульными, где N —число модулей, усилительно-преобразовательными устройствами (УПУ) на базе транзисторных ШИП, построенные на основе одинаковых по структуре, соединенных параллельно друг другу и работающих на общую нагрузку модулей, каждый из которых состоит, в общем случае, из системы управления (СУ), ШИП и сглаживающего фильтра.

Существует большое множество структур САР с N-модульными УПУ, и все они могут быть классифицированы в зависимости от принципа синхронизации их модулей и от взаимного соотношения частот коммутации f силовых ключей (СК) ШИП каждого из модулей следующим образом [3]: 1) модули САР работают синхронно, т. е. без сдвига фаз опорных напряжений их ШИП и на одной и той же частотеf (синфазный принцип синхронизации модулей); 2) модули САР работают независимо друг от друга и на разных частотах /_к; 3) модули САР работают с перемежением во вре-мени, т. е. с некоторым сдвигом фаз опорных напряжений их ШИП и на одинаковых частотах f (многофазный принцип синхронизации модулей).

В первом случае N-модульная САР работает как одна «большая» одномодульная и характеризуется высоким уровнем ампли-
туды Д пульсаций своего выходного параметра, например тока нагрузки, в квазиустановившемся режиме ее работы. Ярким примером подобных систем являются САР, построенные по принципу «ведущий - ведомый» или так называемые «master - slave» системы [4].

Во втором случае, как показано в работе [3], независимая работа N модулей позволяет снизить среднеквадратичную амплитуду пульсаций выходного параметра САР примерно в N ^0,5 раз относительно Д. Но наибольший эффект в этом отношении достигается в третьем случае, когда начальная фаза опорного сигнала ШИП каждого модуля САР сдвинута относительно начальной фазы соседнего модуля на величину 1/(Nk) [5], что позволяет снизить амплитуду пульсаций выходного параметра САР в N раз относительно Д.

Необходимо отметить, что выбор конкретной структуры САР,а также значений ее параметров связан с решением ряда задач анализа САР, в частности, с задачей анализа ее устойчивости. Эта задача заключается в определении в пространстве параметров САР границ областей, в пределах которых обеспечивается нормальный режим (НР) ее работы. Нормальным для САР с ШИП является режим, в котором частота установившихся в ней колебаний равна f_K.

При эксплуатации или настройке САР возможны как незначительные, так и значительные изменения ее параметров, которые
могут привести к нарушению ее устойчивости, в результате чего в ней возникают так называемые особые или ненормальные режимы ее работы. Характерными для САР с ШИП особыми режимами работы, в которых частота установившихся в ней колебаний не равна f„ являются режим субгармонических автоколебаний и скользящий режим [6, 7]. Применительно к САР тока для УНЭ такие режимы относятся к нежелательным или даже опасным режимам работы САР. Таким образом, задача анализа устойчивости САР с ШИП является весьма актуальной и представляет собой как практический, так и теоретический интерес.

Если данная задача более или менее решена применительно к САР с одномодульными УПУ, то в отношении САР с N-мо-
дульными УПУ, как показывает обзор литературы, она остается открытой. Трудности здесь в первую очередь связаны с тем, что САР с ШИП вообще представляют собой нелинейные импульсные системы, где основными нелинейностями являются ограниченность длительностей импульсов на выходе ШИП, обусловленная возможностью насыщения ШИП , и нелинейность, свойственная самому принципу управления в системе с ШИП. Что же касается САР с N-модульными УПУ, то здесь возникает еще одна трудность,связанная с тем, что такие САР являются многосвязными системами, поскольку электромагнитные процессы в их модулях взаимосвязаны через нагрузку САР.

Отмеченные динамические особенности САР с N-модульными УПУ, а именно нелинейность, импульсность и многосвязность,
не дают возможности представить их элементарными динамическими звеньями, что значительно затрудняет математическое описание процессов, протекающих в них. Разработка более или менее адекватных математических моделей таких САР, учитывающих все указанные их особенности и пригодных для анализа их устойчивости, также является актуальной задачей.

Методы исследования

К решению задачи анализа устойчивости САР с ШИП существует подход, основанный на их линеаризации (гармоническая
линеаризация, усреднение переменных состояния, статистическая линеаризация) с последующим применением методов теории линейных САР и различных критериев их устойчивости (геометрический критерий Михайлова, алгебраические критерии Рауса и Гурвица, частотный критерий Найквиста). Но линеаризация имеет ряд существенных ограничений, связанных в первую очередь с тем, что получаемые математические модели САР с ШИП являются приближенными (методическая ошибка), что позволяет анализировать их устойчивость лишь «в малом». Более перспективен в этом отношении метод точеных отображений (МТО), разработанный академиком А. А. Андроновым [8]. МТО применительно к САР с ШИП позволяет учесть практически все их динамические особенности, в силу чего получаемые их математические модели в виде точечных отображений являются точными, что дает возможность анализировать их устойчивость как «в малом», так и «в большом».

Подход к решению задачи анализа устойчивости САР с ШИП, опирающийся на МТО, стал развиваться сравнительно недавно.

К настоящему моменту времени в литературе приведено множество разработанных на его основе алгоритмов анализа устойчивости САР с ШИП, рассмотрены различные их структуры. Но все эти алгоритмы, как правило, ориентированы на САР лишь с одномодульными УПУ, а среди указанных структур САР с ^-модульными УПУ рассмотрена только «master - slave» [4], которая, как уже отмечено выше, работает как одна «большая» одномодульная.

Целью данной работы является разработка основанного на МТО подхода к анализу устойчивости САР с ^-модульными УПУ
на базе транзисторных ШИП с многофазным принципом их синхронизации. Поставленная цель потребовала решения задачи, связанной с формированием математических моделей таких САР в виде точечных отображений.

В качестве примера в данной работе рассматривается САР тока с двухмодульным УПУ, структурная схема и временные диаграммы работы которой в НР приведены на рис. 1 и 2 соответственно. САР содержит два модуля, работающих на общую нагрузку R резистивного характера, и одноконтурную СУ, состоящую из датчика тока (ДТ) с коэффициентом передачи К_дт, источника напряжения задания (ИНЗ) и_з тока нагрузки и пропорционально- интегрального (ПИ) регулятора тока (РТ) с коэффициентом передачи К_п и постоянной времени интегрирования Т_и. Каждый модуль содержит ШИП и индуктивный сглаживающий фильтр с индуктивностью L и активным сопротивлением г. ШИП каждого модуля состоит из блока транзисторных СК (БСК) мостового типа с напряжением питания U, формирователя управляющих импульсов (ФУИ), обеспечивающего несимметричный закон коммутации СК,компаратора (К), обеспечивающего широтно-импульсную модуляцию второго рода (ШИМ-2) с глубиной модуляции M = 0.5, и генератора опорного напряжения (ГОН) u₀(t) треугольной формы с амплитудой U_o, периодом Т_к = 1//_к и длительностями прямого и обратного ходов Т_п = MT_K. Все структурные элементы и сигналы (рис. 1) первого и второго модулей, а также временные интервалы в пределах периода Т_к (рис. 2), соответствующие каждому из этих модулей

РТ преобразует сигнал ошибки регулирования e(t) = U₃ - «_дт(0,где u_K!(t) = KjJ(f) - сигнал ДТ; i(t) = i₁(t) + i₂(t) - ток нагрузки; i₁(t) -
ток первого, а i₂(t) - ток второго модуля, в сигнал управления Ky(t) = K_I1e(t) + u_m(t), где u_m(t) - интегральная его составляющая;
du_m(t)/dt = K_ue(t)/T_w. Сформированный сигнал u_}/(t) сравнивается компараторами К1 и К2 с опорными сигналами «_о1(0 и «_о2(t), описываемыми соотношениями

^uoi^(t) = ^tUJT ; u_o2(t) = (T -t )U₀/T ^пр^{и (}nT_K⁾ < t < ⁽nT_K + T⁾;
u_ol(t) = (T_n -t )UolT_n ; Uo2(t) = tUolT при (nT + T_n) <t < ((n + 1)T_K) ,

где t = mod(tlT_K); mod - функция остатка от деления, в результате чего на выходах К1 и К2 формируются сигналы и_к() и «_к2(0)

соответственно в виде последовательностей однополярных импульсов с частотой следования f_K и амплитудой, равной напря-
жению питания компараторов, обычно +5В. Затем ФУИ1 и ФУИ2 преобразуют сигналы «_к1(0 и «_к2(0 в импульсы, необхо-
димые для управления БСК1 и БСК2, соответственно, и обеспечения несимметричного закона коммутации СК таким образом,
что выходные импульсы ШИП1 u₁(t) и ШИП2 u₂(t) есть копии сигналов u^(t) и и_к2(0, но с амплитудами U₁ и U₂, соответственно, при этом срезы и фронты на и-ом периоде Т_к импульсов u₁(t) формируются в конце интервалов времени t_o1jи и t,_{1; и} (рис. 2, а),а импульсов u₂(t) - в конце интервалов времени t_{o2j и} и t,₂, _и (рис. 2, б) соответственно.

Математическая модель САР в виде точечного отображения

Формирование модели САР основывается на рассмотрении процессов, протекающих в ней на каждом из интервалов и-ого пе-
риода Т_к, в пределах которых ее структура остается постоянной.В зависимости от значений сигнала u_Y(t) в моменты равенства сигналов u^(t) и u„₂(t) друг другу можно выделить две последовательности таких интервалов. Первая из них, когда ^(иТ- + 0.5 Т_п) < 0.5 U и щ(иТ_к + 1.5Т_п) < 0.5 U₀, состоит из интервалов:

(пТк) < t < (пТк + t_cl,_п), где Ui(t) = U; u₂(t) = 0 ; (1.1)

(^пТк + tel,п) < t < (пТк + tф_2> п), где u(t) = 0; u₂(t) = 0 ; (1.2)

(n Т_к +t^п) < t < (пТк + Т_п), где Ui(t) = 0; u₂(t) = U₂; (1.3)

(п Тк + Тп) < t < (пТк + Тп + te2, п), где Ui(t) = 0; ^(t) = U2; (1.4)

(п Тк + Тп + te2, п) < t < (пТк + Тп + t,i, п), где Ui(t) = 0; ^(t) = 0 ; (1.5)

(п Тк + Тп + t,i, п) < t < ((п + 1)Тк), где Ui(t) = Ui; ^(t) = 0 ; (1.6)

а вторая, когда щ(иТк + 0.5Тп) > 0.5ио и u_y(иТк + 1.5Тп) > 0.5ио, — из интервалов:

(пТк) < t < (пТк +1,2, п), где Ui(t) = Ui; ^(t) = 0 ; (2.1)

(пТс +1,2, п) < t < (пТк + tei, п), где Ui(t) = Ui; ^(t) = U2; (2.2)

В пределах каждого из интервалов последовательностей (1) и (2) процессы, протекающие в САР, описываются следующими векторно-матричными уравнениями:

dX(t)/dt = AX(t) + BU(t); u_y(t) = CX(t) + DU(t), (3)

где векторы и матрицы имеют вид:

X(t) = [i₁(t); i₂(t); u„(t)]^r; U(t) = [u_x(t); u₂(t); U_sf;

Рассмотрим последовательность (1). Формируя решения уравнений (3) на каждом из интервалов этой последовательности, а
затем связывая их методом припасовывания, получаем промежуточное отображение на интервале (пТ_к) < t< (пТк + Тп):

где fZero(y) — функция нуля некоторой нелинейной функции y; f_cl,f_c2, Уф1 и Уф₂ — коммутационные функции; F(t) = exp(At);
dV(t)/dt = F(t)B, а также приняты обозначения:

САР в виде отображения X - h(X) путем подстановки (4) в (5). Но анализ процессов, протекающих в САР на и-ом периоде Т_к, показал, что с качественной точки зрения при идентичности ее модулей, когда r₁ = r₂ = r, L₁ = L₂ = L и U₁ = U₂ = U, на интервале (иТк) < t < (иТ_к + Т_п) она ведет себя точно также, как и на интервале (иТ_к + Т_п) < t< ((и + 1)Т_к), если в пределах последнего условно переставить местами (знак ^) и произвести замену (знак ^):

6^(t) « h^(tY^{; u}1^(t) « ^u2^{(t); t}с2 ® ^tA ® h'^{; t}ф1 ® ^ф2 ® h'^;

Данное обстоятельство позволяет рассматривать в качестве НР работы САР режим, в котором частота установившихся в ней
колебаний равна 1/Т_п, и, следовательно, в качестве ее модели при «_у(иТ_к + 0.5 Т_п) < 0.5 U и «_у(иТ_к + 1.5 Т_п) < 0.5 U использовать (4) и(5), которые с учетом (7) примут вид:

X - /1(X) - F(Tn )EX + F(Tn - tc )V(tc )Uип +F(Tn - tф )■V^ - tc )Unn + V(Tn - tф )Uпи;

^tc ^- fzeroC/C^),

где fo - C(F(tc)EX + V(OUип) + DUnn -t_cU₀ /T ;
^tф ^- fzera⁽/^),

где /ф - ОДф )EX + F(tф - tc )V(tc )U ип +V(tф - tc )U nn ) + DU nn - (Tn - tф )U ₀ / Tn ,

f — функция отображения; 1 — единичная матрица; E — матрица перехода между интервалами (п T_K) < t < (пТк + Тп) и
(пТ_к + Т_п) < t< ((n + 1)Т_к); 1 — матрица перестановки координатi₁(t) и i₂(t) вектора состояния САР X(t).

Рассуждая аналогичным образом при рассмотрении последовательности (2), получаем с учетом (6) отображение при
и_у(пТ_к + 0.5Т_п) > 0.5 и_о и и_у(пТ_к + 1.5Т_п) > 0.5 и_о:

Исходя из принципа управления в системах с ШИП, длительности интервалов t_c и t^, не могут быть отрицательными и ограни-
чены «сверху» из-за возможности насыщения ШИП. Учтем это обстоятельство в (8) и (9) следующими неравенствами:

0 < /_е < T_n ; 0 < /ф < Tn. (10)

Итак, математическая модель рассматриваемой САР в виде соотношений (8), (9) и (10) при абсолютной идентичности ее модулей представляет собой нелинейное, трехмерное и неоднозначное отображение вида X = /(X). Неоднозначность проявляется в том,что, во-первых, функция отображения f может принимать два значения, f или f₂, и, во-вторых, матрица перехода E также может принимать два значения, 1 или 1 .

Подход к анализу устойчивости САР

Как было отмечено выше, задача анализа устойчивости заключается в определении в пространстве V параметров САР границ

Г областей, где обеспечивается нормальный режим ее работы. Он соответствует с позиций МТО однократной неподвижной точке отображения САР с координатами X», t_c, и tф». В общем случае эти координаты находятся в результате решения системы уравнений S,получаемой подстановкой X = X = X*, /ф = /ф * и t_c = t_c * в уравнения, задающие отображение САР.

Поверхности Г представляют собой совокупности точек в пространстве V, одной из координат которых является граничное
значение Р_гр бифуркационного параметра САР P, вычисляемое как ноль некоторой нелинейной функции g, зависящей от P:

Ргр = fzero(g,Prpo); у = g(X*(P), tc *(P), /ф *(P), P), (12)

где Р_гр0 — начальное значение параметра P в окрестности Р_гр.

Известный подход к построению поверхностей Г для САР с одномодульными УПУ [9] основан на «сканировании» пространства V вдоль его координатной оси Р и фиксации значения Р_гр0 в момент изменения знака функции g. Применение этого подхода к анализу устойчивости рассматриваемой САР приводит к неопределенности в выборе подлежащей решению системы уравнений S или S₂) при расчете координат X»(P), t_c»(P) и tф»(P).

Предлагаемый подход позволяет разрешить эту неопределенность путем предварительного разбиения пространства V на области V₁ существования решений системы уравнений S₁ и области V₂ существования решений системы уравнений S₂ посредством некоторых граничных поверхностей Г.

Реализация подхода требует наличия расчетных соотношений,задающих координаты точек в пространстве V, образующих по-
верхности Г. В качестве одной из этих координат принято значение P_f бифуркационного параметра P, соответствующее равенству решений систем S₁ и S₂. При этом условии после ряда преобразований из (11) получаем требуемое соотношение в виде:

P_f = fzero(gf,P_fo); у = g_f ( t_c*(P), /ф*(P),P) = | t_c*(P)| - |/ф*(P)| ,

где Pf₀ — начальное значение параметра P в окрестности Pf, а координаты t_c»(P) и tф»(P) могут быть найдены в результате решения любой системы.

Результаты исследования и выводы

На рис. 3 приведена граничная поверхность Г в пространстве параметров R, U₃ и К_п для САР со следующими значениями остальных ее параметров: L₁ = L₂ = L = 33 мкГн; r_x = r₂ = r = 0.03 Ом;
U = U₂ = U = 24 В; К_дт = 0.2 В/А;Г_и = 0.1 мс; U_o = 10 В; f = 30 кГц.

В качестве бифуркационного параметра принято напряжение U₃.

Анализ поверхности Г показывает, что параметр К_п практически не влияет на ее кривизну, значит, при анализе устойчивости
САР значение этого параметра можно задавать любым из диапазона 0.2 < К_п < 0.8, в котором строилась эта поверхность, не опасаясь перехода значения бифуркационного параметра U₃ из области V₁ в область V₂ или обратно.

Далее проводится анализ устойчивости рассматриваемой САР по алгоритму, приведенному, например, в той же работе [9], но уже не в пространстве V, а отдельно в его областях V₁ и V₂.

Литература

1. Глазенко Т. А., Синицын В. А., Толмачев В. А. Сравнительный анализ динамических характеристик транзисторных широтно-импульсных преобразователей // Электротехника. - 1988. - № 3. - С. 70-75.

2. Костин Н. А., Кублановский В. С. Импульсный электролиз сплавов. -Киев: Наукова думка, 1996. - 207 с.

Теги: режим, система управления, САР, модель, импульс, моделирование
234567 Начало активности (дата): 12.05.2017 09:20:00
234567 Кем создан (ID): 645
234567 Ключевые слова:  режим, система управления, САР, модель, импульс
12354567899